Hessian矩阵判定极值之MATLAB实现符号解 |
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Hessian矩阵判定极值之MATLAB实现符号解
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By WC 1.9 .2015
1.Hessian矩阵 其定义如下： 附录： 驻点：使下式成立的点 fx(x,y)=0fy(x,y)=0正定阵的判定： 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 特征值： 2.Matlab实现 eg：求多元函数f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 求得驻点为：（1,0），（1,2），（-3,0），（-3,2） 在求Hessian阵 其图形为： 2.MATLAB实现该问题（无约束极值问题） clc,clear syms x y f %定义符号对象 f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x; df=jacobian(f);%求雅克比矩阵，即一阶偏导数 d2f=jacobian(df);%求Hessian矩阵 [xx,yy]=solve(df); %求驻点 xx=int8(xx);yy=int8(yy);%将符号对象转化为数值型数据 for i=1:length(xx) a=subs(d2f,{x,y},{xx(i),yy(i)}) ; %将xx(i),yy(i)置换x,y带入d2f中 b=eig(a) ;%求矩阵的特征值 f=subs(f,{x,y},{xx(i),yy(i)}) ;%求驻点处的极值 f=int8(f); if all(b>0) fprintf('(%d,%d)是极小值点。极小值为%d \n',xx(i),yy(i),f); elseif all(b |
如果函数f在D区域内二阶连续可导，那么黑塞矩阵H(f) 在 D 内为对称矩阵。原因是：如果函数f连续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即 
如果该函数的驻点处Hessian阵为正定阵，则在该点取为极小值；如果该函数的驻点处Hessian阵为负定阵，则在该点取为极大值；如果该函数的驻点处Hessian阵为不定阵，则在该点不是极值点。
，这里的
为特征值 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 顺序主子式：对一个三阶（3x3）矩阵 a b c d e f g h i 一阶顺序主子式 a 二阶顺序主子式 a b d e 三阶顺序主子式 a b c d e f g h i 其他阶的与此3阶类似 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵E
(1) （1,0）使Hessian阵为正定阵(判定定理3)，故（1,0）为极小值点，极小值为f(1,0)=-5 (2) （1,2）,（-3,0）使Hessian阵为不定阵(判定定理3)，非极值点。 (1) （-3,2）使Hessian阵为负定阵(证明请百度)，故（-3,2）为极大值点，极大值为f(-3,2)=31。
MATLAB程序见如下所示：【本文地址】